Quadrivettore Flusso del Numero di particelle: dialogo tra 2 studenti

Daneel Olivar si trovava nella biblioteca del dipartimento di fisica. Il pomeriggio era quasi giunto al suo termine e molti studenti se n’erano già andati, probabilmente per dirigersi verso la mensa dove cenare. Di fronte a lui, due tavoli più avanti, si trovava una studentessa, Susan Cooper, più avanti di lui nei corsi di un anno.

Daneel sapeva che Susan aveva superato piuttosto bene l’esame di Relatività Generale ma soprattutto che la sua passione per la fisica moderna era uguale se non superiore alla sua. Spesso aveva notato altri studenti andare a chiederle spiegazioni su argomenti che non avevano capito; i loro sguardi, dopo averle parlato, mostravano sempre un’evidente soddisfazione. E lui, che stava seguendo il corso di relatività generale con il professor Baley, aveva un dubbio a proposito del “Quadrivettore Flusso del Numero di particelle”, ma non poteva rivolgersi a lui, visto che sarebbe stato via per un giro di conferenze ancora per una settimana. Avrebbe potuto pazientare un po’ e al suo rientro chiedergli un incontro, ma non vedeva l’ora di scogliere quel dubbio che si frapponeva tra lui e l’argomento successivo, lo “Stress Energy Tensor”.

Così Daneel decise di rivolgersi a Susan, pur non conoscendola di persona. Si rese però conto, proprio quando stava per farsi avanti, di quanto lei fosse immersa in qualcosa di difficile. Poi, quando ormai non erano rimasti nella sala della biblioteca che loro due, mentre la vide alzarsi e dirigersi verso la lavagna bianca che si trovava in fondo alla sala, si fece coraggio e alzandosi dalla sedia disse: “Scusa, posso disturbarti un attimo? Sono uno studente del terzo anno. Mi chiamo Daneel Olivar”.

SUSAN – Ciao! Non mi disturbi affatto. Io mi chiamo Susan Cooper. Come posso esserti di aiuto?

DANEEL – Ho un dubbio a proposito del “Quadrivettore Flusso del Numero di particelle” e non trovo il modo di risolverlo. So che tu hai già studiato l’argomento l’anno scorso e volevo chiederti se potessi aiutarmi a venirne a capo.

SUSAN – Ok, ci posso provare. Ho giusto una curiosità prima di entrare nell’argomento. Perché io? La tua è una scelta casuale dettata solo dal sapere che ho già seguito il corso di Relatività Generale?

DANEEL – No Susan. Il fatto è che non ho potuto fare a meno di notare con quanta passione studi la fisica e quanti studenti si rivolgano a te per chiarire i propri dubbi.

SUSAN – Capisco… Allora Daneel, dimmi di che si tratta. Sono curiosa!

DANEEL – Il mio dubbio riguarda la generalizzazione della misura del flusso del numero di particelle attraverso una qualunque superficie. Ho compreso i casi “normali”, cioè quelli in cui le superfici in questione sono quelle classiche, cioè con una delle coordinate costanti, che poi corrispondo alle componenti del quadrivettore stesso in un sistema di riferimento inerziale, ma non capisco, se non in modo intuitivo, come si sia giunti alla sua generalizzazione utilizzando il prodotto scalare tra il quadrivettore stesso e il vettore unitario normale alla superficie.

SUSAN – Ok Daneel. Ti è chiara la generalizzazione del concetto di superficie attraverso l’uso di un campo scalare \phi, utilizzando l’equazione \phi(T, x, y, z) = costante? E successivamente attraverso la definizione dello “unit normal one-form”?

DANEEL – Credo di sì.

SUSAN – Prova allora a raccontarmelo, come se dovessi spiegarlo a qualcuno che ancora non conosce l’argomento.

Susan notò un’espressione lievemente perplessa sul volto di Daneel.

SUSAN – Daneel, non voglio farti un esame, ci mancherebbe! Mi serve capire qual è il tuo grado di comprensione di ciò che sta alla la base del problema che mi hai descritto.

A questo punto, Daneel prese un pennarello e si mise alla lavagna…

DANEEL – Capisco! Dunque, possiamo in generale definire una superficie S come il luogo dei punti nel nostro “manifold”, lo spazio-tempo, che soddisfano l’equazione \phi(T, x, y, z) = costante, come hai già ricordato tu. In effetti il flusso del numero di particelle attraverso, per esempio una superficie con x costante, è coperta da questa definizione: basta considerare un campo che dipenda solo dalla coordinata x. Analogamente per le altre coordinate.
Ora se si considera un punto P su tale superficie e il gradiente di \phi in P, cioè \widetilde{d\phi}, e se \vec{V} è un vettore in P tangente alla superficie S, allora sicuramente \widetilde{d\phi} (\vec{V}) = 0.

SUSAN – E per quale motivo dovrebbe essere necessariamente \widetilde{d\phi} (\vec{V}) = 0?

DANEEL – Dire che \vec{V} è tangente ad S in P, significa che esiste una curva \gamma appartenente ad S e passante per P che definisce \vec{V}. Nel senso che per qualunque campo f \in C^\infty(M):

\vec{V} (f) = (f \circ \gamma)'(\lambda_0), essendo \gamma( \lambda_0 ) = P

e siccome \phi è costante lungo tutta \gamma, ne consegue che \vec{V} (\phi) = 0.

Una impercettibile espressione di soddisfazione apparve sul volto della ragazza.

SUSAN – Ok Daneel! Vai pure avanti.

DANEEL – \widetilde{d\phi} (\vec{V}) = \vec{V} ( d\phi ) = 0 per quanto appena visto.

Se ora usiamo il tensore metrico di Lorentz e supponiamo di essere in un sistema di coordinate inerziale, in cui quindi il tensore si può rappresentare come \eta_{\alpha\beta} = \begin{bmatrix}-1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0\\0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, possiamo derivare un vettore da \widetilde{d\phi} che chiameremo \vec{d\phi}, definito come segue in termini delle sue componenti rispetto alla base indotta in P per il sistema inerziale in oggetto: (-\Phi_0, \Phi_1, \Phi_2 ,\Phi_3), essendo \Phi_i le componenti di \widetilde{d\phi} rispetto alla base duale.

Fece una piccola pausa e si voltò verso Susan, che continuava a guardare la lavagna assorbita.

Quindi <\vec{d\phi} \bullet  \vec{V}> = 0, visto che <\vec{V_1} \bullet  \vec{V_2}> := \eta( \vec{V_1} ,  \vec{V_2}) e che \eta( \vec{d\phi}, \vec{V}) = \widetilde{d\phi} (\vec{V}).

Ora possiamo finalmente defire il “normal unit one-form” e il suo corrispondente “normal unit vector”:

\widetilde{n} := \frac{\widetilde{d\phi}}{|\widetilde{d\phi}|} e \hat{n} :=  \frac{\vec{d\phi}}{|\vec{d\phi}|}

dove |\widetilde{d\phi}| = |\vec{d\phi}| := \sqrt{|\eta( \vec{d\phi}, \vec{d\phi} )|}.

SUSAN – Ottimo Daneel! Sei stato chiarissimo…

DANEEL – Non ci vuole ora molto per verificare che, scelto \phi in modo da definire una superficie “classica”, cioè una di quelle con x_i = costante, <\vec{N} \bullet \hat{n}> ci dà proprio il flusso del numero di particelle attraverso la superficie unitaria definita da \hat{n}, dove \vec{N} è il quadrivettore flusso del numero di particelle.

SUSAN – Direi che ora ci siamo. Tornando alla tua domanda iniziale…

DANEEL – Mi chiedevo come si potesse verificare che il flusso del numero di particelle attraverso una qualunque superficie unitaria sia effettivamente dato da <\vec{N} \bullet \hat{n}>.

Fece una piccola pausa…

In pratica, per essere più concreti, mentre è relativamente facile dedurre il flusso attraverso superfici classiche, le cose si complicano parecchio quando si considerino superfici in cui spazio e tempo variano insieme.

SUSAN – Sono d’accordo con te, Daneel. Se cerchiamo di arrivarci con un ragionamento “classico” è molto dura. Tuttavia la formula che stiamo valutando, cioè <\vec{N} \bullet \hat{n}>, è basata interamente su tensori. Il prodotto scalare altro non è che l’applicazione del tensore metrico, e \vec{N} e \hat{n} sono due vettori.

DANEEL – E quindi è invariante rispetto ad un cambio di sistema di coordinate…

SUSAN – Esatto!

DANEEL – Adesso capisco. Data una superficie che localmente, nel punto in cui vogliamo valutare il flusso di particelle attraverso di essa, risulti attraversare contemporaneamente spazio e tempo rispetto al sistema di coordinate scelto, possiamo sceglierne un altro rispetto a cui la superficie, almeno in un intorno sufficientemente piccolo del nostro punto, sia “standard”, cioè con una delle 4 coordinate fisse.

SUSAN – Esatto. Scegliendo opportunamente la velocità del nuovo sistema di riferimento e con una opportuna rotazione degli assi spaziali rispetto al sistema originario possiamo sempre riportarci in un caso “standard”.

DANEEL – E in tale sistema vale senz’altro l’equazione Fl =<\vec{N} \bullet \hat{n}> dove con Fl intendo il flusso (del numero di particelle attraverso la superficie nel punto P). Ma siccome esso, Fl, non dipende dal sistema di coordinate e anche <\vec{N} \bullet \hat{n}> non vi dipende, la formula ha carattere generale, indipendente dal sistema di coordinate scelto.

SUSAN – Proprio così Daneel! Questa è la potenza dei Tensori, oggetti matematici meravigliosi.

Daneel rimase in silenzio per un po’. Sembrava ci fosse ancora qualcosa che non gli tornava.

SUSAN – Ho la sensazione che ci sia ancora qualcosa che non ti convince, vero?

DANEEL – Tutto torna da un punto di vista prettamente matematico, tuttavia…è sul significato fisico del flusso del numero di particelle quando la superficie considerata attraversa tempo e spazio, che ho un dubbio. Come ben spiegato nel volume di Bernard Schutz su cui sto studiando (“A first course in General Relativity”), un’interpretazione di carattere generale del flusso prevede di considerare il numero di “world line” associate alle particelle che attraversano una sezione unitaria della superficie, che nel nostro caso, essendo lo spazio-tempo quadridimensionale, corrisponde ad un volume unitario. Tanto è vero che con questa interpretazione la densità di particelle, cioè la prima componente del quadrivettore flusso, può essere interpretata in modo analogo al flusso attraverso una superficie strettamente spaziale (per esempio con x costante)…

SUSAN – Se non ho capito male, il tuo dubbio riguarda il modo in cui si debba calcolare “l’area” della superficie considerata nel caso ci trovassimo in un sistema di riferimento in cui essa attraversi spazio e tempo contemporaneamente, giusto Daneel?

DANEEL – Proprio così Susan! Mi stupisce come tu capisca al volo i problemi…ma forse è perché ci avevi già pensato…

SUSAN – In effetti sì…sono una che scava e non si accontenta fino a che tutto non torna…direi come te, Daneel.

I due si scambiarono un breve sguardo d’intesa.

Nel nostro caso, più che di area dovremmo parlare di volume, come già ricordavi tu. Ora immagina di traslare, ruotare e modificare la velocità del nostro sistema di riferimento iniziale in modo da ricondurci ad un flusso “standard”, in pratica una delle 4 componenti del quadrivettore flusso del numero di particelle. Scegliamo ora il volumetto per il flusso come un cubetto i cui spigoli rappresentativi siano quindi tra loro ortogonali e di lunghezza piccola a piacere. Quando parliamo di lunghezza o di ortogonalità tra vettori nello spazio tempo, dobbiamo usare il tensore metrico di Lorentz! Ed è questo il punto cruciale: usando tale tensore, come è naturale, il nostro cubetto si mantiene tale in qualunque altro riferimento, sia in termini di volume sia di ortogonalità tra i suoi spigoli rappresentativi. Grazie quindi al tensore metrico, possiamo scegliere il nostro cubetto di volume desiderato, in qualunque sistema di riferimento!

DANEEL – Fantastico Susan! Non ho più dubbi…grazie mille!

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