Sovrapposizione degli stati energetici di un elettrone in un atomo

Dialogo tra Susana Cooper e Daneel Olivar, appassionati studenti di fisica.

Erano le sei di sera, quando, ormai stanco dopo un pomeriggio di studio in biblioteca, mi stavo preparando per rientrare in appartamento. In quel momento entrò nell’aula Susan (Cooper) e mi si avvicinò velocemente; mi guardò dritto negli occhi e sotto voce mi chiese se avevo 10 minuti da dedicarle. Quindi mi condusse attraverso diversi corridoi in un’aula che non avevo mai visto prima e una volta lì mi disse che voleva parlarmi di un problema di fisica che credeva di avere finalmente risolto. Non che questo problema non fosse già stato risolto da moltissimo tempo, ma quando si imbatteva in un argomento che la affascinava, le piaceva provare a venirne a capo da sola.

SUSAN: qualche tempo fa ho seguito una lezione di meccanica quantistica relativamente alla quantizzazione dell’energia di un elettrone in orbita intorno ad un nucleo atomico.

DANEEL: ok Susan. L’ho seguita anch’io e mi era sembrata molto chiara oltre che interessante.

SUSAN: ricordi cosa accadde verso la fine?

DANEEL: non ricordo niente di particolare, ad essere sincero.

SUSAN: ad un certo punto uno studente ha chiesto se l’elettrone potesse trovarsi in una sovrapposizione di stati di energia. E il professore ci ha invitati a provare a dare una risposta al quesito.

Ci fu una brevissima pausa.

DANEEL: capisco. E naturalmente tu, non hai potuto evitare di lanciarti in questa sfida.

SUSAN: ormai mi conosci Daneel.

Ci scambiammo uno sguardo di intesa con un impercettibile sorriso.

DANEEL: ora sono curioso e tutt’orecchi.

SUSAN: non sono sicurissima che la soluzione che ho trovato sia corretta, ho ancora qualche dubbio, per questo vorrei una tua opinione.

DANEEL: allora forza!

SUSAN : per prima cosa, l’equazione di Schrödinger non vieta in alcun modo questa possibilità, essendo una equazione lineare: 2 eigenstate dell’energia corrispondono a 2 onde stazionarie, entrambe soluzioni dell’equazione, quindi una qualunque loro sovrapposizione ne sarà ancora una soluzione.

Il problema riguarda un altro aspetto. In generale, qualunque corpo ha un’energia data dalla famosa equazione

E = \sqrt{p^2 c^2 + {m_0}^2 c^4}

dove m_0 è la massa a riposo del corpo, p la sua quantità di moto relativistica e c la velocità della luce; essa sostituisce la vecchia energia cinetica E_k = \frac{1}{2}m_0v^2. Ora, immaginiamo che il corpo in questione sia un atomo di idrogeno e che esso non sia immerso in alcun campo potenziale, in altri termini che non sia sottoposto ad alcuna forza esterna. Immaginiamo poi che il suo elettrone sia in una sovrapposizione di stati di energia. Siccome l’energia dell’atomo include anche quella dell’elettrone, allora anche l’atomo si trova in una sovrapposizione di stati di energia. Ma tale sovrapposizione può essere attribuita ad una eventuale sovrapposizione di stati legati alla sua quantità di moto?

DANEEL: hmmm…a prima vista direi di no.

SUSAN: anch’io la penso così. L’orbitale o eigenstate energetico assunto dall’elettrone riguarda unicamente la relazione tra nucleo ed esso, nulla ha a che fare con il moto nel suo complesso dell’atomo. Se un atomo è fermo all’istante t e un fotone viene assorbito dal suo elettrone, che quindi si sposta su un orbitale con maggiore energia, questo incremento vale tanto per il sistema di riferimento originario rispetto a cui l’atomo era fermo, quanto per un riferimento rispetto a cui l’atomo continui a risultare fermo! E’ un incremento intrinseco.

DANEEL: capisco.

SUSAN: ma allora tale sovrapposizione dovrebbe essere attribuita alla sua energia a riposo, cioè m_0c^2. In altre parole la sua stessa massa a riposo dovrebbe trovarsi in una sovrapposizione di stati! Ma nell’equazione di Schrödinger la massa è una ed una sola, e lo è anche nella sua versione relativistica per particelle con spin 0, l’equazione di Klein Gordon.

Ci fu una pausa di alcuni secondi. Quindi le dissi…

DANEEL: se il tuo ragionamento è corretto, allora un elettrone non può trovarsi mai in una sovrapposizione di stati energetici.

SUSAN: esatto!

DANEEL: E che mi dice del caso vi sia più di un elettrone intorno al nucleo?

SUSAN: in tal caso la funzione d’onda della nuvola di elettroni è data dal prodotto tensore delle funzioni d’onda dei singoli elettroni. Quindi basta che un solo elettrone sia contemporaneamente in più di uno stato di energia perché la nuvola di elettroni e quindi l’atomo nella sia interezza si trovi in una sovrapposizione di stati di energia, contraddicendo il fatto che l’energia intrinseca deve essere una ed una sola, come detto prima.

Trasformazioni di Lorentz: dialogo sulla Coordinata Y

Il professore E. Baly, ha appena fatto accomodare nel suo studio D. Olivar, studente che sta seguendo il suo corso di Relatività Speciale, per parlare di un dubbio che Olivar ha a proposito della coordinata Y nelle trasformazioni di Lorentz. Baly ha notato sin dal primo giorno con quanta attenzione lo studente segua le sue lezioni…

Baly: dimmi Daneel a cosa devo questa tua visita?

Daneel: come sa sto seguendo il suo corso sulla Relatività Speciale e ho compreso bene il ragionamento con cui si ricavano le trasformazioni di Lorentz per 2 sistemi di coordinate in moto uniforme l’uno rispetto all’altro lungo i rispettivi assi x e x’:

X' = (X-VT) \gamma
T' = (T-VX) \gamma

dove T=ct, V=v/c , e \gamma=1/\sqrt{1-V^2} essendo v la velocità un sistema rispetto all’altro.

Baly: molto bene.

Daneel: il mio dubbio riguarda le altre coordinate spaziali, Y,Y’, Z e Z’. Intuisco la validità della relazione Y=Y', ma mi piacerebbe capire come si possa dimostrare in modo rigoroso.

Baly: capisco Daneel. E’ una buona cosa per un aspirante fisico come te, cercare di capire in profondità questioni che spesso si tende a dare per scontate. Spero tu mantenga anche in futuro questa voglia di capire; è l’essenza di un buon scienziato.

Daneel: grazie!

Baly: venendo alla tua domanda, ecco come possiamo procedere per concludere senza dubbi la validità della relazione Y=Y'. Partiamo sempre dal presupposto che le origini dei due sistemi di coordinate O e O' siano associate allo stesso evento: in pratica l’osservatore O’ del sistema S’ incontra l’osservatore O del sistema S quando i rispettivi orologi segnano entrambi il tempo 0; niente di diverso da quanto già fatto per ricavare le trasformazioni di Lorentz che mettono in relazione X e T con X' e T'.

Immaginiamo ora che O’ accenda una torcia elettrica rivolta verso l’alto, cioè nella direzione del suo asse Y’, proprio quando incontra O. Come si muove per O’ il raggio di luce emesso dalla torcia, o meglio per essere più precisi il suo estremo superiore?

Daneel: X’ non varia mentre Y’ = T’.

Baly: esatto. La sua velocità è ovviamente 1 (c con coordinate X’ e t’). E come si muove rispetto ad O?

Daneel: lungo l’asse X si muove con velocità V, ma lungo Y non saprei…tuttavia la sua velocità deve essere 1 anche nel sistema S, per i 2 postulati su cui si fonda la teoria: il principio di relatività e il fatto che sia legge di natura che la luce viaggi con velocità costante 1.

Baly: molto bene! Ora, visto che il raggio di luce deve seguire una traiettoria rettilinea anche in S, converrai con me che dette X ed Y le coordinate in S del suo estremo superiore all’istante T, vale l’equazione: \sqrt{X^2+Y^2}=T.

Daneel: la traiettoria è rettilinea anche in S visto che la velocità lungo X è V, quella complessiva è 1 e quindi quella lungo Y non può che essere costante. Giusto?

Baly: esatto Daneel! Ora sfruttiamo le trasformazioni di Lorentz che ci dicono che T=(T'-VX')\gamma=T'\gamma, visto che X’ è sempre 0. Ma poiché Y'=T', segue che T=\gamma Y'. Puoi andare avanti tu ora…

Daneel: ok. Eleviamo al quadrato entrambi i termini dell’equazione \sqrt{X^2+Y^2}=T e sostituendo a T quanto appena trovato, abbiamo che:
X^2+Y^2=T^2=\gamma^2 Y'^2,
ma X=VT da cui X^2=V^2 T^2 = V^2 \gamma^2 Y'^2.
Quindi sostituendo questo valore ad X nella precedente equazione otteniamo:
V^2 \gamma^2 Y'^2 + Y^2 =\gamma^2 Y'^2 e quindi Y^2 =  Y'^2  \gamma^2 (1- V^2 ) = Y'^2.

Baly: questo ci dice che Y’ e Y coincidono in termini di valore assoluto, cioè al netto del segno…

Daneel: beh professore, direi che è evidente che il raggio di luce si muove verso l’alto anche per l’osservatore O.

Baly: sono d’accordo con te!

Daneel: tuttavia ho ancora un dubbio. Abbiamo appena dimostrato l’uguaglianza di Y e Y’ per l’estremità di un raggio di luce che si muova verso l’alto (direzione Y’) rispetto ad S’ e per simmetria tale corrispondenza vale anche nel caso di una raggio che si muova solo in direzione Y rispetto ad S. Ma noi vogliamo dimostrare che Y=Y' per qualnque evento…

Baly: giustissimo! Per fare questo usiamo l’esempio del treno in movimento rispetto alla banchina, lo stesso usato da Einstein per dimostrare che non esiste un tempo assoluto. Ci basterà dimostrare che l’altezza dei vagoni del treno in S’ è la stessa per S. Sei d’accordo?

Daneel: direi di sì, visto che per qualunque evento possiamo immaginare un vagone la cui altezza corrisponda alla coordinata Y di esso: l’appartenenza di un evento al tetto del vagone non dipende certo dal sistema di coordinate da cui si osserva!

Baly: ebbene…

Daneel: ma certo! Lo abbiamo appena dimostrato con il raggio di luce emesso verso l’alto da O’. L’evento che corrisponde al raggio che incontra il tetto del vagone ha stessa altezza sia per S sia per S’, quindi senz’altro il vagone ha stessa altezza per i 2 sistemi di coordinate!

Baly: molto bene Daneel! Inutile dire che puoi sempre chiedere di me per qualunque dubbio.

Daneel: grazie professore…sarà un piacere!