Sovrapposizione degli stati energetici di un elettrone in un atomo

Dialogo tra Susana Cooper e Daneel Olivar, appassionati studenti di fisica.

Erano le sei di sera, quando, ormai stanco dopo un pomeriggio di studio in biblioteca, mi stavo preparando per rientrare in appartamento. In quel momento entrò nell’aula Susan (Cooper) e mi si avvicinò velocemente; mi guardò dritto negli occhi e sotto voce mi chiese se avevo 10 minuti da dedicarle. Quindi mi condusse attraverso diversi corridoi in un’aula che non avevo mai visto prima e una volta lì mi disse che voleva parlarmi di un problema di fisica che credeva di avere finalmente risolto. Non che questo problema non fosse già stato risolto da moltissimo tempo, ma quando si imbatteva in un argomento che la affascinava, le piaceva provare a venirne a capo da sola.

SUSAN: qualche tempo fa ho seguito una lezione di meccanica quantistica relativamente alla quantizzazione dell’energia di un elettrone in orbita intorno ad un nucleo atomico.

DANEEL: ok Susan. L’ho seguita anch’io e mi era sembrata molto chiara oltre che interessante.

SUSAN: ricordi cosa accadde verso la fine?

DANEEL: non ricordo niente di particolare, ad essere sincero.

SUSAN: ad un certo punto uno studente ha chiesto se l’elettrone potesse trovarsi in una sovrapposizione di stati di energia. E il professore ci ha invitati a provare a dare una risposta al quesito.

Ci fu una brevissima pausa.

DANEEL: capisco. E naturalmente tu, non hai potuto evitare di lanciarti in questa sfida.

SUSAN: ormai mi conosci Daneel.

Ci scambiammo uno sguardo di intesa con un impercettibile sorriso.

DANEEL: ora sono curioso e tutt’orecchi.

SUSAN: non sono sicurissima che la soluzione che ho trovato sia corretta, ho ancora qualche dubbio, per questo vorrei una tua opinione.

DANEEL: allora forza!

SUSAN : per prima cosa, l’equazione di Schrödinger non vieta in alcun modo questa possibilità, essendo una equazione lineare: 2 eigenstate dell’energia corrispondono a 2 onde stazionarie, entrambe soluzioni dell’equazione, quindi una qualunque loro sovrapposizione ne sarà ancora una soluzione.

Il problema riguarda un altro aspetto. In generale, qualunque corpo ha un’energia data dalla famosa equazione

E = \sqrt{p^2 c^2 + {m_0}^2 c^4}

dove m_0 è la massa a riposo del corpo, p la sua quantità di moto relativistica e c la velocità della luce; essa sostituisce la vecchia energia cinetica E_k = \frac{1}{2}m_0v^2. Ora, immaginiamo che il corpo in questione sia un atomo di idrogeno e che esso non sia immerso in alcun campo potenziale, in altri termini che non sia sottoposto ad alcuna forza esterna. Immaginiamo poi che il suo elettrone sia in una sovrapposizione di stati di energia. Siccome l’energia dell’atomo include anche quella dell’elettrone, allora anche l’atomo si trova in una sovrapposizione di stati di energia. Ma tale sovrapposizione può essere attribuita ad una eventuale sovrapposizione di stati legati alla sua quantità di moto?

DANEEL: hmmm…a prima vista direi di no.

SUSAN: anch’io la penso così. L’orbitale o eigenstate energetico assunto dall’elettrone riguarda unicamente la relazione tra nucleo ed esso, nulla ha a che fare con il moto nel suo complesso dell’atomo. Se un atomo è fermo all’istante t e un fotone viene assorbito dal suo elettrone, che quindi si sposta su un orbitale con maggiore energia, questo incremento vale tanto per il sistema di riferimento originario rispetto a cui l’atomo era fermo, quanto per un riferimento rispetto a cui l’atomo continui a risultare fermo! E’ un incremento intrinseco.

DANEEL: capisco.

SUSAN: ma allora tale sovrapposizione dovrebbe essere attribuita alla sua energia a riposo, cioè m_0c^2. In altre parole la sua stessa massa a riposo dovrebbe trovarsi in una sovrapposizione di stati! Ma nell’equazione di Schrödinger la massa è una ed una sola, e lo è anche nella sua versione relativistica per particelle con spin 0, l’equazione di Klein Gordon.

Ci fu una pausa di alcuni secondi. Quindi le dissi…

DANEEL: se il tuo ragionamento è corretto, allora un elettrone non può trovarsi mai in una sovrapposizione di stati energetici.

SUSAN: esatto!

DANEEL: E che mi dice del caso vi sia più di un elettrone intorno al nucleo?

SUSAN: in tal caso la funzione d’onda della nuvola di elettroni è data dal prodotto tensore delle funzioni d’onda dei singoli elettroni. Quindi basta che un solo elettrone sia contemporaneamente in più di uno stato di energia perché la nuvola di elettroni e quindi l’atomo nella sia interezza si trovi in una sovrapposizione di stati di energia, contraddicendo il fatto che l’energia intrinseca deve essere una ed una sola, come detto prima.