Trasformazioni di Lorentz: dialogo sulla Coordinata Y

Il professore E. Baly, ha appena fatto accomodare nel suo studio D. Olivar, studente che sta seguendo il suo corso di Relatività Speciale, per parlare di un dubbio che Olivar ha a proposito della coordinata Y nelle trasformazioni di Lorentz. Baly ha notato sin dal primo giorno con quanta attenzione lo studente segua le sue lezioni…

Baly: dimmi Daneel a cosa devo questa tua visita?

Daneel: come sa sto seguendo il suo corso sulla Relatività Speciale e ho compreso bene il ragionamento con cui si ricavano le trasformazioni di Lorentz per 2 sistemi di coordinate in moto uniforme l’uno rispetto all’altro lungo i rispettivi assi x e x’:

X' = (X-VT) \gamma
T' = (T-VX) \gamma

dove T=ct, V=v/c , e \gamma=1/\sqrt{1-V^2} essendo v la velocità un sistema rispetto all’altro.

Baly: molto bene.

Daneel: il mio dubbio riguarda le altre coordinate spaziali, Y,Y’, Z e Z’. Intuisco la validità della relazione Y=Y', ma mi piacerebbe capire come si possa dimostrare in modo rigoroso.

Baly: capisco Daneel. E’ una buona cosa per un aspirante fisico come te, cercare di capire in profondità questioni che spesso si tende a dare per scontate. Spero tu mantenga anche in futuro questa voglia di capire; è l’essenza di un buon scienziato.

Daneel: grazie!

Baly: venendo alla tua domanda, ecco come possiamo procedere per concludere senza dubbi la validità della relazione Y=Y'. Partiamo sempre dal presupposto che le origini dei due sistemi di coordinate O e O' siano associate allo stesso evento: in pratica l’osservatore O’ del sistema S’ incontra l’osservatore O del sistema S quando i rispettivi orologi segnano entrambi il tempo 0; niente di diverso da quanto già fatto per ricavare le trasformazioni di Lorentz che mettono in relazione X e T con X' e T'.

Immaginiamo ora che O’ accenda una torcia elettrica rivolta verso l’alto, cioè nella direzione del suo asse Y’, proprio quando incontra O. Come si muove per O’ il raggio di luce emesso dalla torcia, o meglio per essere più precisi il suo estremo superiore?

Daneel: X’ non varia mentre Y’ = T’.

Baly: esatto. La sua velocità è ovviamente 1 (c con coordinate X’ e t’). E come si muove rispetto ad O?

Daneel: lungo l’asse X si muove con velocità V, ma lungo Y non saprei…tuttavia la sua velocità deve essere 1 anche nel sistema S, per i 2 postulati su cui si fonda la teoria: il principio di relatività e il fatto che sia legge di natura che la luce viaggi con velocità costante 1.

Baly: molto bene! Ora, visto che il raggio di luce deve seguire una traiettoria rettilinea anche in S, converrai con me che dette X ed Y le coordinate in S del suo estremo superiore all’istante T, vale l’equazione: \sqrt{X^2+Y^2}=T.

Daneel: la traiettoria è rettilinea anche in S visto che la velocità lungo X è V, quella complessiva è 1 e quindi quella lungo Y non può che essere costante. Giusto?

Baly: esatto Daneel! Ora sfruttiamo le trasformazioni di Lorentz che ci dicono che T=(T'-VX')\gamma=T'\gamma, visto che X’ è sempre 0. Ma poiché Y'=T', segue che T=\gamma Y'. Puoi andare avanti tu ora…

Daneel: ok. Eleviamo al quadrato entrambi i termini dell’equazione \sqrt{X^2+Y^2}=T e sostituendo a T quanto appena trovato, abbiamo che:
X^2+Y^2=T^2=\gamma^2 Y'^2,
ma X=VT da cui X^2=V^2 T^2 = V^2 \gamma^2 Y'^2.
Quindi sostituendo questo valore ad X nella precedente equazione otteniamo:
V^2 \gamma^2 Y'^2 + Y^2 =\gamma^2 Y'^2 e quindi Y^2 =  Y'^2  \gamma^2 (1- V^2 ) = Y'^2.

Baly: questo ci dice che Y’ e Y coincidono in termini di valore assoluto, cioè al netto del segno…

Daneel: beh professore, direi che è evidente che il raggio di luce si muove verso l’alto anche per l’osservatore O.

Baly: sono d’accordo con te!

Daneel: tuttavia ho ancora un dubbio. Abbiamo appena dimostrato l’uguaglianza di Y e Y’ per l’estremità di un raggio di luce che si muova verso l’alto (direzione Y’) rispetto ad S’ e per simmetria tale corrispondenza vale anche nel caso di una raggio che si muova solo in direzione Y rispetto ad S. Ma noi vogliamo dimostrare che Y=Y' per qualnque evento…

Baly: giustissimo! Per fare questo usiamo l’esempio del treno in movimento rispetto alla banchina, lo stesso usato da Einstein per dimostrare che non esiste un tempo assoluto. Ci basterà dimostrare che l’altezza dei vagoni del treno in S’ è la stessa per S. Sei d’accordo?

Daneel: direi di sì, visto che per qualunque evento possiamo immaginare un vagone la cui altezza corrisponda alla coordinata Y di esso: l’appartenenza di un evento al tetto del vagone non dipende certo dal sistema di coordinate da cui si osserva!

Baly: ebbene…

Daneel: ma certo! Lo abbiamo appena dimostrato con il raggio di luce emesso verso l’alto da O’. L’evento che corrisponde al raggio che incontra il tetto del vagone ha stessa altezza sia per S sia per S’, quindi senz’altro il vagone ha stessa altezza per i 2 sistemi di coordinate!

Baly: molto bene Daneel! Inutile dire che puoi sempre chiedere di me per qualunque dubbio.

Daneel: grazie professore…sarà un piacere!